Question

17．如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF，若运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？
（2）试判断△PEF形状，并说明理由；
（3）请求五边形ABEFPE的面积；
（4）求△PFC的面积s与t的函数关系式：并确定当t为何值时，s有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先用t表示出AE、CP、AP的长，若PE∥CD，那么△APE∽△ACD，根据相似三角形所得比例线段即可求得此时t的值．
（2）由于AD=AC，且QE∥CD，所以△AQE也是等腰三角形，即AQ=AE，由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ，进而可求得CQ=AP，同理可证得△CFQ也是等腰三角形，即CF=CQ，由此得CF=AP，已求得AE=PC，而∠DAC=∠FCP，由此可证得△FCP≌△PAE，即可证得PF=PE，即△PEF是等腰三角形．
（3）由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等，因此五边形的面积可转化为△ABC的面积，所以五边形的面积是个定值；
（4）由（1）的相似三角形，易求得QE的表达式，分别过C、P作AB、EF的垂线CG、PH，交AB于G，交EF于H，根据等腰三角形三线合一的性质，易求得AG、BG的值，进而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值，即可根据PQ的长表示出QE边上的高PH的值，由三角形的面积公式，可得关于△PQE的面积和t的函数关系式，根据函数的性质即可得到△PQE的最大面积，从而求得其面积的取值范围．

解答 解：（1）由题意知AE=BF=CP=t，AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
当PE∥CD时，△APE∽△ACD，
∴$\frac{t}{5}=\frac{5-t}{5}$，
∴t=2.5；

（2）是等腰三角形，
∵在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP（SAS），
∴PE=PF；

（3））由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五边形BFPEA}=S_△ABC；
过C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，则CG=4，
∴S_{五边形BFPEA}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（4）∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴$\frac{QE}{CD}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{QE}{6}$=$\frac{t}{5}$，QE=$\frac{6t}{5}$，
S_△ACD=S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CG=$\frac{1}{2}×6×4$=12，
∴S_△AQE=${（\frac{AE}{AD}）}^{2}{•S}_{△ACD}$=$\frac{{t}^{2}}{25}$×12=$\frac{12}{25}$t²
过P作PH⊥EF于H，由（3）易得：cos∠APH=cos∠ACG=$\frac{4}{5}$，
故PH=$\frac{4}{5}$PQ=$\frac{4}{5}$（5-2t）；
设△PEQ的面积为y，则y=$\frac{1}{2}$$•\frac{6}{5}t•\frac{4}{5}（5-2t）$=$-\frac{24}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t$，
∴S_△PFC=S_△EPA=$\frac{12}{25}$t²+（$-\frac{24}{25}$t²$+\frac{12}{5}$t）=$-\frac{12}{25}$t²$+\frac{12}{5}$t=$-\frac{12}{25}$${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$$+\frac{3}{25}$
∴当t=$\frac{1}{2}$时，S_△PFC最大=$\frac{3}{25}$，
∴0＜S_△PFC≤$\frac{3}{25}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及二次函数最值，数形结合，利用二次函数求最值是解答此题的关键．