题目内容
2．问题背景：以一个等腰△ABC的两腰为边长，分别向两旁作等边△ABD和等边△ACE，以底边为边长向上作等边△PBC（如图1），在顺次连结A、D、F、E四点后，发现四边形ADFE是一个特殊的四边形．
任务要求：
（1）试判断四边形ADFE的形状，并证明；
（2）将△ABC的形状改为任意一个三角形，在采用上述相同的做法后（如图2），判断四边形ADFE的形状，并证明！
（3）在得出上述结论后，进一步解答：
①当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？
分析 （1）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△DBF≌△ABC（SAS），进而得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△DBF≌△ABC（SAS），进而得出答案；
（3）①利用矩形的判定方法得出当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
②利用正方形的判定方法得出当∠BAC=150°，AB=AC时，四边形ADFE是正方形．
解答 解：（1）四边形ADFE是菱形，
理由：如图1，
由△ABD是等边三角形得BD=AB，∠DBA=60°，
同理BC=BF，∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△DBF和△ABC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC=AE，同理EF=AB=AD，又AB=AC，
∴DF=EF=AE=AD，所以四边形ADFE是菱形；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
理由：如图2，
由△ABD是等边三角形得BD=AB，∠DBA=60°，
同理BC=BF，∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△DBF和△ABC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC=AE，同理EF=AB=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
（3）①当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形，
理由：∵∠BAC=150°，
∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAE=90°，
又∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是矩形．
②当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADFE是正方形．
理由：
当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形，
当AB=AC时，四边形ADFE是菱形，
所以当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADFE是正方形．
点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的判定和正方形的判定等知识，得出△DBF≌△ABC是解题关键．
一副三角板如图摆放，边DE∥AB，则∠1=105°．
如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF，若运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列问题：
如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（ ）| A． | △ABC中，AD是BC边上的高 | B． | △GBC中，CF是BG边上的高 | ||
| C． | △ABC中，GC是BC边上的高 | D． | △GBC中，GC是BC边上的高 |