Question

7．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处．若AE=2AM，那么EN的长等于3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设AM=x，表示出EM=BM=6-x，AE=2x，再利用勾股定理列出方程求出x，然后求出BM，AE，过点N作NF⊥AD于F，求出△AME和△FEN，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答 解：设AM=x，则EM=BM=6-x，AE=2AM=2x，
在Rt△AME中，由勾股定理得，AM²+AE²=EM²，
即x²+（2x）²=（6-x）²，
整理得，x²+3x-9=0，
解得x₁=$\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}$（舍去），
所以，BM=6-$\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15-3\sqrt{5}}{2}$，AE=-3+3$\sqrt{5}$，
过点N作NF⊥AD于F，易求△AME∽△FEN，
所以，$\frac{AE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，
即$\frac{-3+3\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\frac{15-3\sqrt{5}}{2}}{EN}$，
解得EN=3$\sqrt{5}$．
故答案为：3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于利用勾股定理列方程求出AM的长度．