Question

20．已知△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，连接MA．
（1）如图1，若∠BAC=60°，求∠CMB的度数；
（2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB=90°；
（3）如图3，若∠BAC=a，则∠AMC=90°+$\frac{1}{2}$α．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠EAF可知∠BAE=∠CAF，依据SAS可知△BAE≌△CAF，由全等三角形的性质可知∠ACM=∠ABM，故此可知点A、B、C、M共圆，由圆周角定理可知∠BMC=∠BAC=60°；
（2）由（1）可知∠BMC=∠BAC；
（3）由（1）的结论可知∠BMC=a，然后由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得到∠BCA的度数，于是可求得∠BMA的度数，最后可求得∠AMC的度数．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF．
∵在△BAE和△CAF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF．
∴∠ACM=∠ABM．
∴点A、B、C、M共圆．
∴∠CMB=∠BAC=60°．
（2）由（1）可知：∠CMB=∠BAC．
∵∠BAC=90°，
∴∠CMB=90°．
故答案为：90°．
（3）由（1）可知：∠CMB=∠BAC．
∵∠BAC=α，
∴∠CMB=α．
∵AB=AC，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$×（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α．
∵由（1）可知点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB=∠BCA=90°-$\frac{1}{2}$α．
∴∠AMC=∠AMB+∠BMC=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、圆周角定理、四点共圆，证得点A、B、C、M共圆是解题的关键．