Question

15．等腰Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点A，C分别在x轴，y轴上．
（1）点E在x轴上，且∠CEA=45°，连BE，求证：AE⊥BE；
（2）在（1）的条件下，判断线段BE、AE、CO之间的数量关系，写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=45°，由∠CEA=45°，得到∠ABC=∠AEC，推出A，E，B，C四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠ACB+∠AEB=180°，即可得到结论；
（2）过C作CH⊥EB，交EB的延长线于H，得到四边形COEH是矩形，推出矩形COEH是正方形，于是得到OC=OE=HE，证得△ACO≌△HCB，根据全等三角形的性质得到AO=HB，由AE=AO+OE，BE=HE-BH，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BCA=90°，BC=AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CEA=45°，
∴∠ABC=∠AEC，
∴A，E，B，C四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB=180°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE；

（2）解：AE+BE=2OC，
理由：过C作CH⊥EB，交EB的延长线于H，
∴∠H=∠EOC=∠OEH=90°，
∴四边形COEH是矩形，
∵∠OEC=45°，
∴OC=OE，
∴矩形COEH是正方形，
∴OC=OE=HE，
∵∠ACB=∠HCO=90°，
∴∠ACO=∠HCB，
在△ACO与△CHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠H}\\{∠ACO=∠HCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△HCB，
∴AO=HB，
∵AE=AO+OE，BE=HE-BH，
∴AE+BE=2OC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．