Question

5．如图，一次函数y=3x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，C，且点C的坐标为（3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在这个二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；
（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∴3=a×1×（-3），
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在．
∵抛物线的对称轴为：直线x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q₁，
∵OA=OQ₁，BO⊥AQ₁，
∴当Q₁B=AB时，设Q（1，q），
∴1+（q-3）²=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．
当Q₂A=Q₂B时，设Q₂的坐标为（1，m），∴2²+m²=1²+（3-m）²，
∴m=1，
∴Q₂（1，1）；
当Q₃A=AB时，设Q₃（1，n），
∴2²+n²=1²+3²，
∴n=±$\sqrt{6}$，
∴Q₃（1，$\sqrt{6}$），Q₄（1，-$\sqrt{6}$）．
∴符合条件的Q点坐标为Q₁（1，0），Q₂（1，1），Q₃（1，$\sqrt{6}$），Q₄（1，-$\sqrt{6}$）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏解．