Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．

已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是　　　　　　；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为　　　　　　；

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，

①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；

②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】圆的综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；

（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：

当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；

（3）①在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长；

②如答图4所示，符合题意的相似三角形有三个，需要进行分类讨论，分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值．

【解答】解：（1）当m=2，n=2时，

如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；

当m=5，n=2时，

B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，

如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．

（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：

当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

∴d===．

（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：

由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，

其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，

∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．

②结论：存在．

∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．

∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．

如答图4所示，相似三角形有三种情形：

（I）△AM₁H₁，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．

如图，OH₁=m+2，M₁H₁=2，AH₁=OA﹣OH₁=2﹣m，

由相似关系可知，M₁H₁=2AH₁，即2=2（2﹣m），

∴m=1；

（II）△AM₂H₂，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．

如图，OH₂=m+2，M₂H₂=2，AH₂=OH₂﹣OA=m﹣2，

由相似关系可知，M₂H₂=2AH₂，即2=2（m﹣2），

∴m=3；

（III）△AM₃H₃，此时点B落在⊙A上．

如图，OH₃=m+2，AH₃=OH₃﹣OA=m﹣2，

过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M₃H₃=n，AN=m﹣4，

由相似关系可知，AH₃=2M₃H₃，即m﹣2=2n  （1）

在Rt△ABN中，由勾股定理得：2²=（m﹣4）²+n²  （2）

由（1）、（2）式解得：m₁=，m₂=2，

当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，

∴m=．

综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．

【点评】本题是以圆为基础的运动型压轴题，综合考查了圆的相关性质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点，难度较大．本题涉及动线与动点，运动过程比较复杂，准确理解运动过程是解决本题的关键．第（3）①问中，关键是画出点M运动轨迹的图形，结合图形求解一目了然；第（3）②问中，注意分类讨论思想的运用，避免漏解．