Question

6．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）判断△BPP′的形状，并求∠BPQ的度数；
（3）求正方形ABCD的边AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；
（2）先根据勾股定理逆定理判断△BPP′是直角三角形，得出∠P′PB=90°，由（1）知△APP′是等腰直角三角形，那么∠APP′=45°，再根据平角定义即可求出∠BPQ的度数；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，先由∠BPQ=45°，PB=2$\sqrt{2}$，求出PE=BE=2，然后在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB．

解答 解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，
∵∠PAD+∠PAB=90°，
∴∠P′AB+∠PAB=90°，
即∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，
∴PP′=$\sqrt{2}$，
∵P′B=PD=$\sqrt{10}$，PB=2$\sqrt{2}$，
∴P′B²=PP′²+PB²，
∴∠P′PB=90°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°，
∴∠BPQ=180°-90°-45°=45°；

（3）如图，作BE⊥AQ，垂足为E，
∵∠BPQ=45°，PB=2$\sqrt{2}$，
∴PE=BE=2，
∴AE=AP+PE=1+2=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即正方形ABCD的边AB的长为$\sqrt{13}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，难度适中，作BE⊥AQ于E，构造直角三角形是解决问题（3）的关键．