Question

1．如图，直径为OA的圆M与x轴交于点O，A，点B，C把半圆OA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D．
（1）求∠BAO的度数．
（2）求证：△OMD≌△BAO．

Answer 1

分析 （1）连接BM，由点B，C把半圆OA分为三等份可知：∠BMA=$\frac{1}{3}$×180°=60°，所以△ABM是等边三角形，所以∠BAO=60°．
（2）由（1）可知，∠DMO=∠BAO=60°，且OM=MA=AB，所以△OMD≌△BAO．

解答 解：（1）连接BM，
∵点B，C把半圆OA分为三等份，
∴∠BMA=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
又∵MB=MA，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAO=60°，

（2）∵点B，C把半圆OA分为三等份，
∴∠DMO=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴∠DMO=∠BAO，
∵AO是⊙M的直径，
∴∠OBA=90°，
由（1）可知：MA=AB，
∴OM=MA=AB，
在△OMD与△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMO=∠BAO}\\{OM=AB}\\{∠DOM=∠OBA}\end{array}\right.$，
∴△OMD≌△BAO（ASA）．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定，等边三角形的性质，需要学生灵活运用所学知识解决．