Question

20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB至点P，使BP=AB，连接PC．
（1）求证：直线PC与⊙O的相切；
（2）连接PO，若正方形边长为2，求PO的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由O为正方形的中心得到∠OCB为45°，再由AB=BC=BE，得到三角形BCE为等腰直角三角形，即∠BCE为45°，进而确定出∠OCE为直角，即CE垂直于OC，可得证；
（2）连接OB，过O作OG垂直于AB，利用垂径定理和等腰直角三角形得到OG=AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=1，可得出GP=3，然后根据勾股定理即可求出PO的长．

解答 解：（1）连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BP，∠CBP=90°，
∴△CBP为等腰直角三角形，即∠BCP=45°，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°，
∴CP⊥OC，
∴直线PC与⊙O的相切；

（2）连接OB，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OBG=45°，
过O作OG⊥AB，可得出OG=AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵AB=BP=2，
∴PG=3，
∴OP=$\sqrt{G{P}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 此题考查了切线的判定，正方形的性质，垂径定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．