Question

8．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）先将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转，使△DCD′与△ACBD′全等（0°＜α＜180°），再将此时的小长方形CE′F′D′沿CD边竖直向上平移t个单位，设移动后小长方形边直线F′E′与BC交于点H，若DH∥FC，求上述运动变换过程中α和t的值．

Answer 1

分析 （1）由长方形CEFD旋转，得到CD′=CD，在由三角函数求出∠CD′E，即可；
（2）由长方形CEFD旋转得到∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG判断出△GCD′≌△E′CD即可；
（3）判断出△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，即可．

解答 解：（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD′=CD}\\{∠GCD′=∠DCE°}\\{CG=CE′}\end{array}\right.$
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D
（3）能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
则α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查了图形旋转的性质，由性质得出结论是解本题的关键．