Question

12．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q作直线PQ，分别交AC于点D，交AB于点E；连接BD．则下列结论中：①AD=BD，②∠CBD=30°③BC=$\frac{1}{2}$AB；④S_△ABC=4S_△BCD正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据作已知线段的垂直平分线可对①进行判断；利用∠DBA=∠CBD=30°可对②进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系可对③进行判断；通过证明△DCB≌△DEB≌△DEA，可对④进行判断．

解答 解：①用作法可得PQ垂直平分AB，则AD=BD，故此选项正确；
②因为DA=DB，则∠A=∠DBA=30°，则∠CBD=30°，故此选项正确；
③∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，故此选项正确；
④由以上可得：
在△DCB和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BED}\\{∠CBD=∠DBE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△DCB≌△DEB（AAS），
在△ADE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠AED=∠BED}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE（SAS），
故△DCB≌△DEB≌△DEA，
∴S_△ABC=3S_△BCD，故此选项错误．
故选：C．

点评 本题考查了作图-基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．