Question

20．已知a、b为实数，关于x的方程|x²+ax+b|=2恒有三个不等的实数根．
（1）求b的最小值；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式确定答案；
（2）根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出a的值，然后确定三角形的内角；
（3）根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出a，b的值．

解答 解：（1）由原方程得：x²+ax+b-2=0①，x²+ax+b+2=0②，
两方程的判别式分别为：△₁=a²-4b+8，△₂=a²-4b-8，
∵原方程有三个根，
∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即△₁，△₂中必有一个大于0，一个等于0，比较△₁，△₂，显然△₁＞△₂，
∴△₁＞0，△₂=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-4b-8=0\\{a^2}-4b+8＞0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{4}{a^2}-2\\ b＜\frac{1}{4}{a^2}+2\end{array}\right.$，
由$\frac{1}{4}{a^2}-2＜\frac{1}{4}{a^2}+2$，可知a取任意实数
∴当 a=0 时，b的最小值是-2；
（2）由（1），设x²+ax+b=2的根为x₁，x₂，x²+ax+b=-2的根为x₃
∴x₁+x₂=-a，${x_3}=-\frac{a}{2}$
由已知x₁+x₂+x₃=180°，即$-a-\frac{a}{2}={180°}$，得a=-120
∴x₃=60°即该三角形必有一个内角是60°
（3）由${△_2}={a^2}-4b-8$=0，知a²-4b=8，得${△_1}={a^2}-4b+8=16$
所以x²+ax+b=2的根为${x_{1，2}}=\frac{-a±4}{2}$，
∵$\frac{-a+4}{2}＞\frac{-a}{2}＞\frac{-a-4}{2}$
∴${（{\frac{-a+4}{2}}）^2}={（{\frac{-a}{2}}）^2}+{（{\frac{{-a-{4^{\;}}}}{2}}）^2}$，得a=-16，或a=0
当a=0时，${x_3}=-\frac{a}{2}=0$，不可能．
∴a=-16，$b=\frac{{{a^2}-8}}{4}=62$．

点评 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，（1）题根据方程的根的情况，用一元二次方程根的判别式进行求解．（2）题根据一元二次方程根与系数的关系以及三角形三内角和是180°进行证明．（3）题根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，并用（1）题中的结论进行计算求出a，b的值．