Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BD：CD=1：4．
（1）求tan∠BAD的值；
（2）若AB=$\sqrt{10}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）设BD=k，DC=4k，先证明△ADB∽△CAD，从而可求得AD=2k，然后利用锐角三角函数的定义求解即可；
（2）在Rt△ABD中，由tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，可知sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，从而可求得BD=$\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，然后由△ADB∽△CAD可求得AC=2$\sqrt{10}$．

解答 解：（1）设BD=k，DC=4k．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC．
∴△ADB∽△CAD．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD}$，即$\frac{AD}{k}=\frac{4k}{AD}$．
解得：AD=2k．
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$．
（2）∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
又∵AB=$\sqrt{10}$，
∴BD=$\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$．
∵△ADB∽△CAD，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{AC}{2\sqrt{2}}$．
∴AC=2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、解直角三角形，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．