Question

3．如图：抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²+（m-5）x+2m与直线y₂=2x-4交于x轴上A点和另一点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）观察图象回答：当x取何值时，①y₁=y₂；②y₁＞y₂；③y₁＜y₂；
（3）若y₁、y₂都随x的增加而增加，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出A点坐标，再代入抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²+（m-5）x+2m求出m的值即可得出其解析式，联立两直线的解析式即可得出B点坐标；
（2）根据两函数图象的交点即可得出结论；
（3）求出抛物线的对称轴方程，根据一次函数与二次函数的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A在直线y₂=2x-4上，
∴2x-4=0，解得x=2，
∴A（2，0）．
∵点A在抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²+（m-5）x+2m上，
∴2+2（m-5）+2m=0，解得m=2，
∴抛物线的解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x²-3x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}=\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+4\\{y}_{2}=2x-4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=12\end{array}\right.$，
∴B（8，12）；

（2）①由函数图象可知，当x=2或x=8时，y₁=y₂；
②由函数图象可知，当2＜x＜8时，y₁＞y₂；
③由函数图象可知，当x＜2或x＞8时，y₁＜y₂；

（3）∵抛物线的解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x²-3x+4，
∴其对称轴为x=-$\frac{-3}{2×\frac{1}{2}}$=3，
∴当x＞3时，y₁、y₂都随x的增加而增加．

点评 本题考查的是二次函数与不等式．能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．