Question

2．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，
（1）求证：△AEB∽△OFC；
（2）求证：AE•BC=AD•BE；
（3）若AD=8，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得出∠BAC=∠FOC，进而得出△AEB∽△OFC；
（2）根据圆周角定理得到∠CBD=∠CAD，∠AED=∠BEC，推出△ADE∽△CBE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）利用相似三角形的性质得出$\frac{OF}{FC}=\frac{AD}{BC}$，进而得出OF的长．

解答 （1）证明：连接BO，
∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠AEB=90°，∠CFO=90°，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BAC=∠FOC，
∴△AEB∽△OFC；

（2）证明：∵∠CBD=∠CAD，∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}$，
∴AE•BC=AD•BE；

（3）解：由（1）知，△AEB∽△OFC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{OF}{FC}$，
∵$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{OF}{FC}=\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{CF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=4．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，熟练利用圆周角定理得出相等的角是解题关键．