Question

19．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE=$\frac{1}{2}$BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，得出∠BAE=∠EFC，由AAS证明△ABE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的对边相等得出AB=FC，由BE=CE，得出四边形ABFC为平行四边形，证出BC=AF，即可得出四边形ABFC是矩形；
（3）由等腰三角形的三线合一性质得出AE⊥BC，得出四边形ABFC是菱形，即可得出结论四边形ABFC为正方形．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠EFC，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EFC}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵BE=CE，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵AE=EF=$\frac{1}{2}$AF，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形；
（3）解：当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；理由如下：
∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABFC为平行四边形，
∴四边形ABFC是菱形，
又∵四边形ABFC是矩形，
∴四边形ABFC为正方形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定方法、等腰三角形的性质；本题综合性强，难度适中，证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．