Question

5．如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△NAB，若MD=3，CM=4，则MN的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长DM交AN于E，延长BN交CM于F，根据旋转的性质得到∠ANB=∠CMD=90°，AN∥CM，根据余角的性质得到∠EAD=∠CDM，根据全等三角形的性质得到AE=DM=3，DE=CM=4，推出四边形ENFM是正方形，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：延长DM交AN于E，延长BN交CM于F，
∵∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△NAB，
∴∠ANB=∠CMD=90°，AN∥CM，
∴∠MEN=∠DMC=∠ANB=∠BFC=90°，
∴∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDM=90°，
∴∠EAD=∠CDM，
在△ADE与△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DMC=90°}\\{∠EAD=∠MDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDM，
∴AE=DM=3，DE=CM=4，
∴ME=1，
∴EN=1，
同理MF=FN=1，
∴四边形ENFM是正方形，
∴MN=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则的作出辅助线是解题的关键．