Question

15．某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）

Answer 1

分析 延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．

解答 解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，
在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，
则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，
DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=$2\sqrt{3}$，
∵DH⊥BG，∠G=30°，
∴HG=$\frac{DH}{tan∠G}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{tan30°}$=6，
∴CG=CH+HG=2+6=8，
设AB=xm，
∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，
∴BC=x，BG=$\frac{AB}{tan∠G}=\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
∵BG-BC=CG，
∴$\sqrt{3}$x-x=8，
解得：x=$\frac{8}{{\sqrt{3}-1}}$=4（$\sqrt{3}$+1）（m）
答：电线杆的高为x=4（$\sqrt{3}$+1）m．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的等腰、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．