Question

15．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为4，圆心P坐标是（4，a）（a＞4），函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4$\sqrt{3}$，则a的值是4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=4，PC=a，易得D点坐标为（4，4），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=2，则PD=$\sqrt{2}$PE=2$\sqrt{2}$，所以a=4+2$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（4，a），
∴OC=4，PC=a，
把x=4代入y=x得y=4，
∴D点坐标为（4，4），
∴CD=4，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△PBE中，PB=4，
∴PE=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=2$\sqrt{2}$，
∴a=4+2$\sqrt{2}$．
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．作出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键，本题所考查知识较基础，难度不大．