Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③∠BAD=∠B
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用基本作图可判断AD平分∠BAC，则可对①进行判断；再计算出∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，则可对②③进行判断；然后根据角平分线的性质对④进行判断．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∠BAD=∠B，所以③正确；
∵AD为角平分线，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，
而点D到直线AC的距离等于CD的长度，
∴点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平行线的性质定理．