题目内容
7．已知二次函数图象的顶点坐标为C（-1，0），直线y=-x+m与该二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，4），B点在y轴上，P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，D为直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点E，使S△EAB=3，若存在，请直接写出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据顶点坐标（-1，0）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，把点A（-3，4）分别代入二次函数和一次函数的解析式中可得结论；
（2）先求AB的解析式，根据解析式表示出P、E两点的坐标：设P（x，-x+1），E（x，x2+2x+1），由平行四边形的性质：CD=PE列式可求得x的值，计算点P的坐标；
（3）分两种情况：如图2，点E在AB的下方时，根据三角形面积=铅直高×水平宽，此时的水平宽是3，铅直高是EF，根据解析式表示，由面积=2，代入可求得结论；
如图3，点E在AB的上方时，
由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=-x+3，该直线与抛物线的交点即是点E，列方程组求出即可．
解答 解：（1）把A（-3，4）代入y=-x+m得：3+m=4，
m=1，
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，
把A（-3，4）代入y=a（x+1）2中得：a（-3+1）2=4，
a=1，
∴这个二次函数的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1；
（2）如图1，当x=0时，y=1，
∴B（0，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，4），B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+1，
当x=-1时，y=1+1=2，
∴D（-1，2），
∴CD=2，
设P（x，-x+1），E（x，x2+2x+1），
∵四边形DCEP是平行四边形，
∴CD=PE，CD∥PE，
∴PE=（-x+1）-（x2+2x+1）=-x2-3x=2，
x2+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x1=-1（舍），x2=-2，
当x=-2时，y=2+1=3，
∴P（-2，3）；
（3）存在，
过E作EF∥CD，交AB于F
设F（x，-x+1），E（x，x2+2x+1），
∵S△ABE=$\frac{1}{2}$×3EF=3
∴EF=2
如图2，点E在AB的下方时，
EF=（-x+1）-（x2+2x+1）=-x2-3x=2，
x1=-1，x2=-2，
当x=-1时，y=0，
当x=-2时，y=1，
此时点E（-1，0）、（-2，1）；
如图3，点E在AB的上方时，
由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=-x+3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}+2x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）；
综上所述，点E的坐标为：（-1，0）或（-2，1）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求，本题就是设顶点式来求解析式；对于已知三角形面积的值，确定抛物线上一动点坐标时，常利用确定平行线解析式的方法，再利用两函数的交点来解决问题．
| A． | 在⊙A内 | B． | 在⊙A上 | C． | 在⊙A外 | D． | 不能确定 |
| A． | （-2，1） | B． | （-2，-$\frac{3}{2}$） | C． | （-$\frac{3}{2}$，-9） | D． | （-2，-1） |
如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使△ABD与△ABC全等．