Question

16．一个装有进水管和出水管的容器，根据实际需要，从某时刻开始的2分钟内只进水不出水，在随后的4分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图所示．
（1）当2≤x≤6时，求y与x的表达式；
（2）请将图象补充完整；
（3）从进水管开始进水起，求该容器内的水量不少于7.5升所持续时间．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）求出关闭进水管直到容器内的水放完需要的时间，画出图象即可解决问题．
（3）根据0≤x≤2时，y与x的函数表达式为y=5 x，以及6≤x≤10时，y与x的函数表达式为y=-$\frac{15}{4}$x+$\frac{75}{2}$，分别求出y=7.5时的时间，求出两个时间的差即可解决问题．

解答 解：（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b
将点（ 2，10 ），（ 6，15）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}2k+b=10\\ 6k+b=15\end{array}$  解得  $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{4}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}$
∴当2≤x≤6时，y与x的函数表达式为y=$\frac{5}{4}$ x+$\frac{15}{2}$．    
（2）由题意可求出进水管每分钟的进水量为5升，出水管每分钟的出水量为3.75升，
故关闭进水管直到容器内的水放完需要4分钟．所以补充的图象为连接点（ 6，15 ）
和点（10，0 ）所得的线段．图象如图所示，

（3）由题意可求：当0≤x≤2时，y与x的函数表达式为y=5 x
当6≤x≤10时，y与x的函数表达式为y=-$\frac{15}{4}$x+$\frac{75}{2}$
把y=7.5代入y=5 x，得x₁=1.5
把y=7.5代入y=-$\frac{15}{4}$x+$\frac{75}{2}$，得x₂=8，
∴该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为x₂-x₁=8-1.5=6.5（分钟）
答：该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为6.5分钟．

点评 本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．