Question

12．如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）如果CD=15，BE=10，sin∠DAE=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=$\frac{1}{2}$BE=5，由两角相等的三角形相似，△ADE∽△CGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠ECG=sinDAE=$\frac{5}{13}$，在Rt△ECG中，利用勾股定理求出CG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．

解答 （1）证明：连接OB，如图1所示：
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sinA=$\frac{EG}{CE}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=13，
在Rt△ECG中，
∵CG=$\sqrt{C{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{GE}$，
∴AD=$\frac{DE}{GE}$•CG=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的半径OA=2AD=$\frac{48}{5}$．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．