Question

2．如图，直线y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A、B两点，交x轴于点C（$\frac{9}{2}$，0），过点A作AD⊥y轴于点D（0，$\frac{8}{3}$），连接CD，S_△ADC=2．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$与直线y=mx+n的表达式；
（2）求△DAB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式mx+n＜$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据三角形的面积得到k=±4．于是得到y=$\frac{4}{x}$；然后根据待定系数法确定函数关系式；
（2）解方程组得到A（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$），B（3，$\frac{4}{3}$），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据图象，观察即可求得答案．

解答 解：（1）连接OA，
∵S_△DAO=$\frac{1}{2}$•AD•DO=S_△DAC=2，S_△DAO=$\frac{|k|}{2}$，
∴k=±4．
∵k＞0，∴k=4，
∴y=$\frac{4}{x}$；
∵D（0，$\frac{8}{3}$），
∴y_D=$\frac{8}{3}$，
∵y_A=y_D=$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{{x}_{A}}$，解得x_A=$\frac{3}{2}$，即A（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$），
∵直线y=mx+n过点A（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$）和C（$\frac{9}{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}m+n=\frac{8}{3}\\ \frac{9}{2}m+n=0\end{array}$  解得$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{8}{9}\\ n=4\end{array}$，
∴y=-$\frac{8}{9}$x+4；
（2）联立：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{x}\\ y=-\frac{8}{9}x+4\end{array}$   解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{8}{3}\end{array}$   或   $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{4}{3}\end{array}$．
∴A（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$），B（3，$\frac{4}{3}$），
∵A（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$），∴AD=$\frac{3}{2}$，
S_△DAB=$\frac{1}{2}$•AD•y_B=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$=1；
（3）由图象知，不等式mx+n＜$\frac{k}{x}$的解集为0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞3.8．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．