Question

10．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，M为第一象限的抛物线上一点，AM交y轴于N，且AM•AN=4．
（1）求证：AM⊥BM；
（2）求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点坐标，求出点A，B的坐标，根据两边成比例且夹角相等，由AM•AN=AO•AB，证明△AON∽△AMB，进而证得结论；
（2）设点M的坐标为（m，-m²+2m+3），根据两角相等的两个三角形相似，证明△AMD∽△MBD，可得$\frac{MD}{AD}=\frac{DB}{DM}$，即可解答．

解答 （1）证明：在y=-x²+2x+3中令y=0，解得x=-1或3．
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．
则OA=1，AB=1+3=4．OA•AB=1×4=4，
∵AM•AN=4，
∴AM•AN=AO•AB，
∴$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AN}{AB}$，
又∵∠NAO=∠BAM，
∴△AON∽△AMB，
∴∠AMB=∠AON=90°，
∴AM⊥BM；
（2）解：连接BM，过点M作MD⊥x轴于点D，
由（1）可知，∠AMD+∠DMB=90°，
∵MD⊥x轴，
∴∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DMB=∠DAM，
∵∠AMB=∠ADM=90°，
∴△AMD∽△MBD，
∴$\frac{MD}{AD}=\frac{DB}{DM}$，即DM²=DB•AD，
设点M的坐标为（m，-m²+2m+3），
∴（-m²+2m+3）²=（m+1）（3-m），解得：m₁=3，m₂=-1，m₃=$1+\sqrt{3}$，m₄=$1-\sqrt{3}$，
∵点M在第一象限，
∴m₁=3，m₂=-1，m₄=$1-\sqrt{3}$，不合题意，都舍去，
∴m=$1+\sqrt{3}$，
∴-m²+2m+3=1，
即点M（$1+\sqrt{3}$，1）．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点及三角形相似的性质和判定，解决第（2）小题时，关键是能准确找到相似三角形．