Question

边长为4的等边△ABC，D，E分别在BC，AC上移动，D点从B运动到C，E从C运动到A．已知：D，E同时同速移动，连AD、BE交于F．
（1）D、E在运动过程中，∠AFE是否发生变化？若不变，求∠AFE度数；若改变，说明理由．
（2）当△AFE为Rt△时，D、E分别在BC、AC的什么位置，并求EF长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°=∠AFE；
（2）当△AFE为Rt△时，可得D、E分别在BC、AC的中点位置．

解答： （1）解：不变化，是60°，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．
在△ABE与△CAD中，

AB=CA ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∴∠AFE=∠BFD=60°
（2）当△AFE为Rt△时，D、E分别在BC、AC的中点，
连接CF，
在Rt△CFE中，CE=

1

2

AC=2，∠FCE=30°，
设EF为x，则CF=2x，根据勾股定理可得：
x²+2²=（2x）²
解得：x=

2 3

3

∴EF=

2 3

3

点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．