题目内容

如图，已知抛物线y=-x2+3x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D、点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B点运动（运动到B点停止），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC与点Q．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）已知抛物线解析式，令y=0，x=0，可求B、C两点坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（4，0），所以0≤x≤4
（3）有三种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=
5
2
，③DQ=BD=
5
2
，分别讨论即可求得．
解答：解：（1）把x=0代入y=-x2+3x+4得点C的坐标为C（0，4）
把y=0代入y=-x2+3x+4得点B的坐标为B（4，0）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
b=4
4k+b=0
，解得
k=-1
b=4
，
∴直线BC的解析式为y=-x+4；
（2）如图，连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=
1
2
×4×x+
1
2
×4×y
=2x+2y
=2x+2（-x2+3x+4）
=-2x2+8x+8．
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤4
∴S=-2x2+8x+8（0≤x≤4）

（3）存在．
∵y=-x2+3x+4=-（x-
3
2
）2+
25
4
，
∴顶点的坐标为（
3
2
，
25
4
），
∵OB=OC=4，
∴BC=
OB2+OC2
=4
2
，∠ABC=45°，
①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=4-
3
2
=
5
2
，
∴BM=QM=
5
4
，
∴OM=4-
5
4
=
11
4
，
所以Q的坐标为Q（
11
4
，
5
4
）．
②若BQ=BD=
5
2

∵△BQM∽△BCO，
∴
BQ
BC
=
QM
CO
=
BM
BO
，
∴
5
2
4
2
=
QM
4
=
BM
4
，
∴QM=BM=
5
2
4
，
∴OM=4-
5
2
4
，
所以Q的坐标为Q（4-
5
2
4
，
5
2
4
）．
③若DQ=BD=
5
2
，
∵∠ABC=45°，
∴DQ⊥BD，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴DQ=BD=
5
2
，
所以Q的坐标为Q（
3
2
，
5
2
），
综上所述，Q的坐标为Q（
11
4
，
5
4
）或Q（4-
5
2
4
，
5
2
4
）或Q（
3
2
，
5
2
）．
点评：本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，两条中线AD、BE交于点F，则S△EDF：S△ABC=
 
．
在⊙O中，弦AB=AC=5，BC=8，则圆心O到弦BC的距离为
 
．
解方程：
（1）x2+4x-2=0 （此题用配方法）   
（2）x+3-x（x+3）=0．
如图，一个圆柱，它的高为20cm，底面半径为7cm．如果一只蚂蚁要自圆柱下底面的A点，沿圆柱体的侧面爬到与A相对的上底面B点，求爬行的最短长度（结果保留π）．
已知
a+b
11
=
b+c
10
=
c+a
15
，求
b+c-a
a+b+c
的值．
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（1）BC的长为
 
；
（2）当t为何值时，点Q与点E重合？
（3）当点Q在BC上（包括点C）运动时，求S△PQE与t的函数关系式；
（4）当PQ⊥EQ时，请直接写出t的值．
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（结果保留π）．
若多项式x2-5xy+ky2是完全平方式，则常数k的值为
 
．

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