Question

8．将正方形ABCD和正方形EFGB如图1摆放，连结DF．
（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，连接DF、CG相交于点M，请猜想∠DMC的度数并证明；
（2）如图3，将图2中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转β角（0°＜β＜90°），连接DF，CG相交于点M，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BF，根据正方形的性质可以得到∠FBC=∠CBD=45°，由此推出∠FBD=∠GBC=90°，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，由此即可证△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），如图所示，和（1）一样证明△BFD、△BGC相似即可解决问题．

解答 解：（1）∠DMC=45°，
如图2，连接BF，
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠FBD=∠GBC=90°，
∵BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，
∵∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF
=180°-（∠BDF+∠CDF）-∠BCD
=180-45°-90°
=45°；

（2）如图3，
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBD=∠GBC，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴$\frac{DF}{CG}$=$\sqrt{2}$，∠BCM=∠BDM，
∵∠DMC=180°-∠DCM-∠CDF
=180°-（∠BCD-∠BCM）-∠CDF
=180°-∠BCD+∠BCM-（∠CDB+∠BDM）
=180°-∠BCD-∠BDM-∠CDB-∠BDM
=180°-∠BCD-∠CDB
=180-90°-45°
=45°，
∴∠DMC=45°；
∴$\frac{DF}{CG}$=$\sqrt{2}$，
∴∠DMC=45°

点评 此题主要考查了旋转及正方形的性质，综合性比较强，通过利用正方形的性质构造相似三角形的相似条件，然后利用相似三角形性质就可以解决问题，判断△BFD∽△BGC是解本题的关键．