Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC延长线上的一点，F是对角线AC上的一点，AF=CE，连接BF、EF．
（1）若AB=4，点F是AC边的中点，求BF的长；
（2）若点F是AC边上的任意一点（不与点A、C重合），求证：BF=EF．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据菱形的性质和∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，然后点F是AC边的中点，利用勾股定理可求得BF的长度；
（2）过点F作FG∥BC，交AB于点G，根据平行线的性质和∠BAC=60°可得△AGF为等边三角形，得出AG=AF=GF，继而可的GB=FC，GF=CE，然后证明△BGF≌FCE，即可证明BF=EF．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点F是AC边的中点，AB=4，
∴AF=2，BF=ABcos60°=2

3

；

（2）过点F作FG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°
又∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AG=AF，
∴BG=CE，
又∵CE=AF，
∴GF=CE，
∵∠BGE=∠ECF=120°，
则在△BGF和△FCE中，

GF=CE ∠BGF=∠FCE BG=FC

，
∴△BGEF≌△FCE（SAS），
∴BF=EF．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．