Question

12．如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使△PBC得面积最大，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得PD的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；
（2）如图1
，
作PE⊥AB于E交BC于D点，
BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
设P点坐标（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$），D（m，$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$），
PD的长为$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$-（$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD•x_B=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m）×5=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{25}{4}$m=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
当m=$\frac{5}{2}$时，S_最大，
$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$=-$\frac{35}{8}$，
即P点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{8}$）．

（3）存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴N₁（4，-$\frac{5}{2}$）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N₂作N₂D⊥x轴于点D，
在△AN₂D与△M₂CO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{N}_{2}AD=∠C{M}_{2}O}\\{A{N}_{2}=C{M}_{2}}\\{∠A{N}_{2}D=∠{M}_{2}CO}\end{array}\right.$
∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=$\frac{5}{2}$，即N₂点的纵坐标为$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得x=2+$\sqrt{14}$或x=2-$\sqrt{14}$，
∴N₂（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$），N₃（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-$\frac{5}{2}$），（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）或（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，解（2）的关键是平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标得出PD的长，在解答（3）时要注意进行分类讨论．