Question

1．在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG=BF，连接CE、DE、DG．
（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；
（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于$\sqrt{2}$GH的线段．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形CEDG是平行四边形，只要证明DE∥CG，DE=CG即可．
（2）由四边形四边形CEDG是平行四边形，推出DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE²=AD•AH=2a•3a=6a²，推出AE=$\sqrt{6}$a，在Rt△AEH中，HE=$\sqrt{A{H}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-（\sqrt{6}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，推出AE=$\sqrt{2}$HE，因为GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的$\sqrt{2}$倍．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，
∴EC=EA=EB，
∵EF⊥BC，
∴CF=FB，
∵AD=DC，AE=EB，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∵CG=BF，
∴DE=CG，DE∥CG，
∴四边形四边形CEDG是平行四边形；

（2）解：如图2中，

∵四边形四边形CEDG是平行四边形，
∴DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，
∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AEH，
∴AE²=AD•AH=2a•3a=6a²，
∴AE=$\sqrt{6}$a，
在Rt△AEH中，HE=$\sqrt{A{H}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-（\sqrt{6}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴AE=$\sqrt{2}$HE，
∵GH=HE，AE=EB=CE=CD，
∴线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的$\sqrt{2}$倍．

点评 本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．