Question

17．如图，四边形ABCD，AB=CD，E，F分别为AD，BC边中点，PE⊥AD，PF⊥BC，连接PB，PD，求证：∠BPF=∠DPE．

Answer 1

分析 注意到PE、PF是中垂线，于是连接PA、PC，从而PA=PD，PB=PC，加上AB=CD的条件，可以证明三角形PBA与三角形PCD全等，可得∠BPA=∠CPD，进而可得∠BPC=∠APD，其一半自然相等，即∠BPF=∠DPE，结论得证．

解答 证明：如图，连接PA、PC，

∵PE⊥AD，E为AD中点，
∴PA=PD，∠APE=∠DPE，
同理PB=PC，∠BPF=∠CPF，
在△BPA与△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CP}\\{AP=DP}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△CPD（SAS），
∴∠BPA=∠CPD，
∴∠BPC=∠APD，
∴∠BPF=∠DPE．

点评 本题主要考查的等腰三角形“三线合一”的应用、全等三角形的判定与性质，难度中等．识别出PE、PF是中垂线是解决本题的关键．