Question

15．如图，AC⊥BD于C，∠D=90°，AB=AE且AB⊥AE，四边形ABDE的面积为36，则AC=6．

Answer 1

分析 如图作EF⊥AC于F，连接EC．由△ABC≌△EAF，推出AC=EF，设AC=EF=x，由四边形EFCD是矩形，推出S_△EFC=S_△ECD，由S_△ABC=S_△EAF，推出S_△ACE=$\frac{1}{2}$•S_{四边形ABDE}=18，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图作EF⊥AC于F，连接EC．

∵BA⊥AE，AC⊥BD，
∴∠BAE=∠BCA=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠B=∠EAF，
在△ABC和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AFE}\\{∠B=∠EAF}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAF，
∴AC=EF，设AC=EF=x，
∵∠EFC=∠FCD=∠D=90°，
∴四边形EFCD是矩形，
∴S_△EFC=S_△ECD，∵S_△ABC=S_△EAF，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$•S_{四边形ABDE}=18，
∴$\frac{1}{2}$•x•x=18，
∴x=6或-6（舍弃），
∴AC=6．
故答案为6．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考常考题型．