Question

5．抛物线y=ax²+bx+c满足下列条件：（1）4a-b=0； （2）a-b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac=$\frac{1}{4}$b²；④$\frac{c}{4}$＜a＜$\frac{c}{3}$．则其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 先确定抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-2，由于抛物线与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2，x=-1时，a-b+c＞0，则可判断抛物线与x轴的一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，所以抛物线的开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，则可对①②进行判断；利用两交点的距离小于2得到$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$＜2，则可得到a＜$\frac{c}{3}$，则可对④进行判断．

解答 解：∵b=4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-2，
而抛物线与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2，
x=-1时，a-b+c＞0，
∴抛物线的开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴a＞0，c＞0，所以①错误，②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以③错误；
而b=4a，
∴16a²-4ac＞0，
∴a＞$\frac{c}{4}$，
∵$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$＜2，
∴b²-4ac＜4a²，
即16a²-4ac＜4a²，
∴a＜$\frac{c}{3}$所以④正确．
故答案为②④．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数图象与系数的关系．