Question

M为等边△ABC内部一点，且M到三角形的三顶点的长分别为3，4，5，求这个等边△ABC的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：根据等边三角形的性质得CA=CB，∠ACB=60°，则可把△CBM绕点C逆时针旋转60°得到△CAE，如图，根据旋转的性质得CE=CM=4，AE=BM=5，∠ECM=60°，于是可判断△CME为等边三角形，则EM=CM=4，∠CME=60°，在△AME中，由于AM²+ME²=AE²，根据勾股定理的逆定理得到△AME为直角三角形，即∠AME=90°，可计算出∠AMC=∠AME+∠CME=150°，则∠CMH=30°，作CH⊥AM于H，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△MCH中，计算得到CH=

1

2

MC=2，MH=

3

CH=2

3

，则AH=3+2

3

，然后在Rt△ACH中，根据勾股定理计算出AC²=25+12

3

，再利用等边三角形的面积公式求解．

解答：解：如图，AM=3，CM=4，BM=5，
∵△ACBC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∴把△CBM绕点C逆时针旋转60°得到△CAE，如图，连结EM，
∴CE=CM=4，AE=BM=5，∠ECM=60°，
∴△CME为等边三角形，
∴EM=CM=4，∠CME=60°，
在△AME中，AM=3，ME=4，AE=5，
∵3²+4²=5²，
∴AM²+ME²=AE²，
∴△AME为直角三角形，
∴∠AME=90°，
∴∠AMC=∠AME+∠CME=150°，
∴∠CMH=30°，
作CH⊥AM于H，如图，
在Rt△MCH中，CH=

1

2

MC=2，MH=

3

CH=2

3

，则AH=3+2

3

，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（3+2

3

）²+2²=25+12

3

，
∴等边三角形的面积=

3

4

AC²=

3

4

（25+12

3

）=

25 3 +36

4

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．