Question

已知⊙O的半径为6cm，弦AB=6cm，弦AC=6

3

cm，则∠CAB等于

 

度．

Answer 1

考点：垂径定理,特殊角的三角函数值

专题：分类讨论

分析：分当B和C分别位于A的两侧和当B和C位于A的同侧两种情况，则∠CAB=∠CAO+∠OAB或∠CAB=∠OAB-∠OAC，根据垂径定理和三角函数即可求解．

解答：解：当B和C分别位于A的两侧时，如图1．
连接OA、OB，作OD⊥AC于点D．
∵OA=OB=AB=6cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∵OD⊥AC于点D，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×6

3

=3

3

，
∴在直角△ODA中，cos∠CAO=

AD

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠CAO=30°，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=30°+60°=90°；
当B和C位于A的同侧，如图2．
∠CAB=∠OAB-∠OAC=60°-30°=30°．
故答案是：90或30．

点评：本题考查了垂径定理和三角函数，注意到分当B和C分别位于A的两侧和同侧两种情况进行讨论是关键．