Question

10．如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y₁和过P、A两点的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

• A． 5
• B． $\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$
• C． 10
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=4，DE=2$\sqrt{5}$，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出$\frac{BF}{DE}$=$\frac{OF}{OE}$，$\frac{CM}{DE}$=$\frac{AM}{AE}$，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答 解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=6，DE⊥OA，
∴OE=EA=$\frac{1}{2}$OA=4，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴$\frac{BF}{DE}$=$\frac{OF}{OE}$，$\frac{CM}{DE}$=$\frac{AM}{AE}$，
∵AM=PM=$\frac{1}{2}$（OA-OP）=$\frac{1}{2}$（8-2x）=4-x，
即$\frac{BF}{2\sqrt{5}}$=$\frac{x}{4}$，$\frac{CM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得：BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，CM=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴BF+CM=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．