Question

15．在△ABC中，D是边BC上一点，且∠ABD=∠C．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AB=10，AC=20，∠DBC=90°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）由（1）知△ABC∽△ADB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，求得AD=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=5，CD=15，设BD=k，BC=2k，由勾股定理求得BD=3$\sqrt{5}$，BC=6$\sqrt{5}$，根据三角形的面积公式即可得到结果．

解答 （1）证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB；

（2）由（1）知△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=5，
∴CD=15，
设BD=k，BC=2k，
∵∠DBC=90°，
∴BD²+BC²=CD²，
即k²+（2k）²=225，
∴k=3$\sqrt{5}$，
∴BD=3$\sqrt{5}$，BC=6$\sqrt{5}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×6\sqrt{5}$=45，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△ABC=60．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．