Question

20．先化简，再求值：$\frac{2}{a+1}-\frac{a-2}{{{a^2}-1}}+\frac{{{a^2}-2a}}{{{a^2}-2a+1}}$，其中a=cos45°．

Answer 1

分析 先分子分母因式分解，再通分，把a的值求出来，代入即可．

解答 解：原式=$\frac{2}{a+1}$-$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}$+$\frac{a（a-2）}{（a-1）^{2}}$
=$\frac{2（a-1）^{2}-（a-2）（a-1）+a（a-2）（a+1）}{（a+1）（a-1）^{2}}$
=$\frac{a（2a-3）}{（a+1）（a-1）^{2}}$，
∵a=cos45°，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（2×\frac{\sqrt{2}}{2}-3）}{（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）（\frac{\sqrt{2}}{2}-1）^{2}}$
=$\frac{2-3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}-2}{2}}$
=8$\sqrt{2}$-10．

点评 本题考查了分式的化简求值，以及锐角三角函数，分式的通分、约分以及因式分解是解题的关键．