Question

16．如图，∠CBF、∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC、∠CBF的平分线BD、BE交于点D、E．
（1）求∠DBE的度数；
（2）若∠A=70°，求∠D的度数；
（3）若∠A=a，则∠D=$\frac{1}{2}$α，∠E=90°-$\frac{1}{2}$α（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠DBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CBE=$\frac{1}{2}∠$CBF，于是得到结论；
（2）由角平分线的定义得到∠DCG=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠DBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，然后根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）由（2）知∠D=$\frac{1}{2}∠$A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-$\frac{1}{2}$α．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CBE=$\frac{1}{2}∠$CBF，
∴∠DBC+∠CBE=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°；

（2）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=$\frac{1}{2}∠$ACG，∠DBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACF=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=$\frac{1}{2}∠$A=35°；

（3）由（2）知∠D=$\frac{1}{2}∠$A，
∵∠A=α，
∴∠D=$\frac{1}{2}α$，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-$\frac{1}{2}$α．
故答案为：$\frac{1}{2}α$，90°-$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，外角性质，熟练掌握外角性质是解题的关键．