Question

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，将△OAB，使点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点A的对应点A′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠AOB=30°．
（1）求点A和点B′的坐标；
（2）判断点B、B′、A是否在同一直线上并说明理由．
（3）点M在坐标平面内，若△MOB与△AOB全等，画出图形并直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB垂足为D，利用面积法求出AD，即可写出A点，B′点坐标．
（2）根据待定系数法可以求出直线AB的解析式，至于点B′是否在直线AB上只需把点代入所求解析式，判断是否符合即可．
（3）如图满足条件的点M有三个，由（1）即可写出坐标．

解答 解：（1）如图作AD⊥OB垂足为D，
在RT△ABO中，∵OB=2，∠AOB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB=1，AO=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•OB•AD=$\frac{1}{2}$•AO•AB，
∴$\frac{1}{2}$•2•AD=$\frac{1}{2}$$•1•\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\sqrt{3}$AD=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B′（1，$\sqrt{3}$）．
（2）设直线AB为y=kx+b，∵经过A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB为y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
当x=1时，y=-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴点B′在直线AB上，故B、B′、A在同一直线上．
（3）满足条件的点M有三个，如图所示．
M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M₂（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查解直角三角形、旋转的性质、一次函数等知识，学会利用一次函数解决共线问题，第三个问题一题多解，注意考虑问题的全面性．