Question

17．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到E，使CE=CD，连结AE交BC于点F．
（1）试说明：△ABF≌△ECF；
（2）连结AC，BD相交于O，连结OF，问OF与AB有怎样的数量关系与位置关系，说明理由；
（3）若AE=AD，连接BE，四边形ABEC是什么特殊四边形，说明理由；
（4）在（3）的条件下，当△ABC满足AB=AC条件时，四边形ABEC是正方形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质得出∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根据题意可判断出OF是△ABC的中位线，从而可判断出数量及位置关系；
（3）首先判定四边形ABEC是平行四边形，进而利用矩形的判定定理得出即可；
（4）根据邻边相等的矩形是正方形即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又∵CE=DC，
∴AB=CE．
在△ABF和△ECF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}ABF=∠ECF\\ AB=CE\\∠BAF=∠CEF\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ECF（ASA）；

（2）OF=$\frac{1}{2}$AB，OF∥AB．
证明：∵OA=OC，BF=FC，
∴OF是△ABC的中位线．
∴OF=$\frac{1}{2}$AB，OF∥AB；

（3）连接BE，
∵AB∥CD，AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
又∵AE=AD，
∴AC⊥DE，即∠ACE=90°，
∴平行四边形ABEC是矩形；

（4）∵由（3）知，四边形ABEC是矩形，
∴AC=AB时，四边形ABEC是正方形．
故答案为：AB=AC．

点评 此题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，矩形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据题意得出OF是△ABC的中位线．