Question

14．问题情境：在学完2.4节圆周角之后，老师出了这样一道题：
如图1，已知点A为∠MPN的平分线PQ上的任一点，以AP为弦作圆O与边PM、PN分别交于B、C两点，连结AB、BC、CA，形成了圆O的内接△ABC．小明同学发现△ABC是一个等腰三角形，理由是∠ABC=∠APC，∠ACB=∠APB，又由角平分线得∠APC=∠APB，所以∠ABC=∠ACB，AB=AC得证．
请你说出小明使用的是圆周角的哪个性质：同弧所对的圆周角相等（只写文字内容）．
深入探究：爱钻研的小慧却画出了图2，与边PN的反向延长线交于点C，其它条件不变，△ABC仍是等腰三角形，请你写出证明过程．
拓展提高：妙想的小聪提出如图3，如果圆O与边PN相切于点C（与P点已重合），其它条件不变，△ABC仍是等腰三角形吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 因为∠ABC和∠APC都是弧AC对着的圆周角，所以∠ABC=∠APC，即同弧所对的圆周角相等，同理可得∠ACB=∠APB，进而可知道小明使用的是圆周角的哪个性质；
深入探究：△ABC仍是等腰三角形，由圆的内接四边形定理以及圆周角定理证明再结合已知条件证明∠ABC=∠ACB即可得到AB=AC；
拓展提高：作直径CH，连结AH，由圆周角定理以及其同理和切线的性质定理再结合已知条件证明∠ABC=∠ACB，即可得到AB=AC．

解答 解：问题情境：同弧所对的圆周角相等，
深入探究：△ABC仍是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC+∠APC=180°，∠APN+∠APC=180°，
∴∠ABC=∠APN．
∵PA 平分∠MPN，
∴∠APB=∠APN，
∴∠ABC=∠APB．
而∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
拓展提高：△ABC仍是等腰三角形理由如下：
作直径CH，连结AH，
∵CH为直径，
∴∠AHC=90°，
∴∠H+∠ACH=90°．
∵CN与圆O相切，
∴CN⊥CH，
∴∠ACN+∠ACH=90°，
∴∠ACN=∠H．
∵∠ABC=∠H，
∴∠ACN=∠ABC．
∵PA 平分∠MPN，
∴∠ACB=∠CAN．
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有圆周角定义及其推论、角平分线的定义、圆的内接四边形定理以及切线的性质定理，题目的设计新颖，对学生理解问题的能力要求较高，特别是拓展提高部分正确作出图形的辅助线是解题关键．