Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；

（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．

（1）如图，连接BD，交AC于点F．

∵ ∠BAD＝90°， ∴ BD是直径．

∴ ∠BCD＝90°． ∴ ∠DEC＋∠CDE＝90°．

∵ ∠DEC＝∠BAC， ∴ ∠BAC＋∠CDE＝90°．

∵ ∠BAC＝∠BDC， ∴ ∠BDC＋∠CDE＝90°．

∴ ∠BDE＝90°，即 BD⊥DE．

∵ 点D在⊙O上，

∴ DE是⊙O的切线．

（2）∵ DE∥AC，∠BDE＝90°，

∴ ∠BFC＝90°．

∴ CB＝AB＝12，AF＝CF＝ AC，

∵ ∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．

∴ ∠CDE＝∠CBD．

∵ ∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴ △BCD∽△DCE，

∴ ＝ ， ∴ CD＝6．∴ BD＝6 ．

同理：△CFD∽△BCD，∴ ＝ ， ∴ CF＝ ．

∴ AC＝2AF＝ ．