Question

6．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如点（1，1），（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），…都是和谐点，若二次函数y=ax²+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），当0≤x≤m时，函数y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是2≤m≤4．

Answer 1

分析 根据和谐点的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根为$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，从而求得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$，所以函数y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

解答 解：令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$．                           
故函数y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．                            

由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x²+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．