Question

19．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点G，交CB延长线于E，BF平分∠ABC交AD的延长线于F．
（1）若AD=5，AB=8，求GB的长．
（2）求证：∠E=∠F．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出∠2=∠AGD，进而得出AD=AG，得出答案即可；
（2）首先证明∠CDE=∠ABF，再证明ED∥FB，然后再根据平行四边形的性质可得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFDE是平行四边形，进而得出答案．

解答 （1）解：∵在?ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点G，BF平分∠ABC交AD的延长线于F，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，AB∥DC，
∴∠2=∠AGD，
∴∠1=∠AGD，
∴AD=AG=5，
∵AB=8，
∴BG=8-5=3；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，DC∥AB，AD∥BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
∵DC∥AB，
∴∠AGD=∠CDE，
∴∠AGD=∠FBA，
∴ED∥FB，
∵AF∥CE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠E=∠F．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．