Question

19．如图1，等边三角形ABC中，点D在AB上（点D与点A，B不重合），DE⊥BC，垂足为E，点P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′与△BDE关于DP对称．设BE=x，△B′DE′与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤x＜m与m≤x＜n时，函数的解析式不同）．

（1）填空：等边三角形ABC的边长为2，图2中a的值为$\frac{\sqrt{3}}{8}$；
（2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据图象得到当x=BE=$\frac{1}{2}$时，点B'在AC上，进而得出△ADB'是等边三角形，根据AD=DB'=DB=1，可得等边三角形ABC的边长为2，再根据S_△DB'E'=S_△DBE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，可得a的值；
（2）分三种情况讨论：当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{2}{3}$时，当$\frac{2}{3}$≤x＜1时，分别根据△B′DE′与△ABC重叠部分的形状，运用图形面积的和差关系得到S的表达式．

解答 解：（1）如图甲，当x=BE=$\frac{1}{2}$时，点B'在AC上，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=1，DE=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，
又∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，DP∥AC，
∴DB'=DB=1，且∠BDB'=60°×2=120°，
∴DB'∥BC，
∴△ADB'是等边三角形，
∴AD=DB'=DB=1，
∴AB=2，即等边三角形ABC的边长为2，
∵S_△DB'E'=S_△DBE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
故答案为：2，$\frac{\sqrt{3}}{8}$；

（2）当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，如图1，
∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，
∴∠A=∠B=60°，∠BDE=30°，
∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，
∴S=S_△DB'E'=S_△DBE=$\frac{1}{2}$BE×DE=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²；

当x=m时，点E'在AC上，此时，BE=AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$，即m=$\frac{2}{3}$，
当$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{2}{3}$时，如图2，
设B'D，B'E'分别与AC交于点M，N，
∵DP∥AC，
∴∠B'MN=∠DMA=∠MDP，∠BDP=∠A，
∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，
∴∠MDP=∠BDP=∠A=60°，∠B'=∠B=60°，
∴∠B'MN=∠DMA=60°，
∴∠B'NM=60°=∠B'MN=∠B'，∠ADM=60°=∠DMA=∠A，
∴△B'MN和△ADM都是等边三角形，
作NQ⊥B'M于Q，则NQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$B'N，
∵B'M=B'D-DM=BD-AD=2x-（2-2x）=4x-2，
∴S=S_{四边形DE'NM}
=S_△B'DE'-S_△B'MN
=S_△BDE-S_△B'MN
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（4x-2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4x-2）
=-$\frac{7}{2}$x²+4$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；

当点D与点A重合时，x=BE=$\frac{1}{2}$BC=1，即n=1，
当$\frac{2}{3}$≤x＜1时，如图3，
设B'D，DE'与AC分别交于点M，N，作AQ⊥DM于Q，
∵∠B'DE'=∠BDE=30°，∠ADM=60°，
∴∠ADN=90°，
∴S=S_△MND
=S_△ADN-S_△ADM
=$\frac{1}{2}$（2-2x）•$\sqrt{3}$（2-2x）-$\frac{1}{2}$（2-2x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-2x）
=$\sqrt{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
综上所述，S关于x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{-\frac{7}{2}\sqrt{3}{x}^{2}+4\sqrt{3}x-\sqrt{3}（\frac{1}{2}≤x＜\frac{2}{3}）}\\{\sqrt{3}{x}^{2}-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}（\frac{2}{3}≤x＜1）}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查了动点问题的函数图象以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，分情况进行讨论，解题时注意：根据0＜x＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤x＜m与m≤x＜n时函数的解析式不同，可得分段函数．