Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作CE⊥AC，且使AE∥BD，连结DE．
（1）求证：AD=CE．
（2）若DE=3，CE=4，求tan∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）由△BAD≌△ACE，得到BD=AE，AD=CE，从而证明四边形ABDE为平行四边形，再证明∠EDA=∠BAD=90°，最后根据三角函数即可解答．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AE∥BD，
∴∠CAE=∠BCA，
∴∠B=∠CAE，
又∵AD⊥AB，CE⊥AC，
∴∠BAD=∠ACE=90°，
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE=90°}\\{AB=AC}\\{∠B=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△ACE．
∴AD=CE．  
（2）∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE为平行四边形．
∴DE∥AB，
∴∠EDA=∠BAD=90°，
∴$tan∠DAE=\frac{DE}{AD}$．
又∵AD=CE=4，DE=3，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BAD≌△ACE．