Question

13．已知关于x的方程mx²-3（m+1）x+2m+3=0（m≠0）．
（1）求证：该方程必有两个实数根．
（2）若该方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再进行判断即可；
（2）求出方程的两个根，再讨论即可．

解答 （1）证明：mx²-3（m+1）x+2m+3=0（m≠0），
∵△=[-3（m+1）]²-4m（2m+3）=m²+6m+9=（m+3）²，
∴当m≠0时，△≥0，
即该方程必有两个实数根；

（2）解：mx²-3（m+1）x+2m+3=0，
x=$\frac{3（m+1）±\sqrt{（m+3）^{2}}}{2m}$，
x₁=2+$\frac{3}{m}$，x₂=1，
要使$\frac{3}{m}$为整数，整数m可以为±1，±3，
∵该方程有两个不相等的整数根，
∴整数m的值是1，-1，3．

点评 本题考查了根的判别式和解一元二次方程的应用，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．